DE WERELD NU

Over wiskunde en abstract denken

wiskunde, rekenen 5

Is begrip voor wiskunde genetisch bepaald, of kan goed onderwijs voorkomen dat leerlingen zich voor de materie afsluiten zodat alle streven ijdel wordt?

Tussen mijn vrouw en mij bestond ruim vijftig jaar een meningsverschil. Zij meende dat ze geen wiskundeknobbel had en ik stelde dat ze verkeerd les had gehad.

Alle denken is logisch. Wiskunde en symbolische logica onderscheiden zich van alledaags gezond verstand alleen door een hogere graad van abstractie en door het gebruik van een eigen symbooltaal. Wel andere talen kunnen leren en geen logica of wiskunde lijkt daarom een contradictie. Het verstand waarmee iemand haar klassieke talen leert is hetzelfde verstand waarmee logica wordt geleerd en gehanteerd. En wiskunde is een vorm van toegepaste logica.

Als leerlingen op middelbare scholen goede resultaten behalen bij alfa en gamma vakken maar slecht scoren in de exacte, dan zou dat kunnen liggen aan een gebrek aan abstraherend vermogen, want zoiets komt wel voor, maar veel voor de hand liggender is een gebrek in de opleiding of in de interesse van de leerling.

Die gebreken zullen dan vaak samenhangen met een tekort in de beheersing van de speciale kunsttaal die in de wis- en natuurkunde wordt gebruikt om abstracties in uit te drukken. Om te kunnen omgaan met problemen in de wiskunde – maar bijvoorbeeld ook in de muziek – moet je de taal beheersen waarin over die onderwerpen wordt geschreven en nagedacht. Het notenschrift en de wiskundige notatie, de taalkundige grammatica en syntaxis, de compositieleer, de harmonieleer , de beginselen van de algebra, de meetkunde, het zijn allemaal varianten op eenzelfde thema.

De wiskundetaal is een hiërarchisch geordend systeem. Wie de grondslagen niet beheerst kan de volgende stappen niet meer maken. Maar juist het onderwijs in de grondslagen van de wiskunde is notoir gebrekkig. Dat heeft twee redenen. In de eerste plaats zijn sommige leerlingen veel sneller in het oppikken van de lastige basis begrippen dan anderen. Leraren hebben de neiging om zich te richten op de leerlingen van wie zij reacties krijgen. Die bepalen vaak het tempo van het onderwijs, met als resultaat dat een flink aantal leerlingen de eerste beginselen nooit leert.

Voor talen en veel andere vakken is collectief onderwijs heel geschikt, maar eigenlijk is het ongeschikt voor wiskunde. Wiskundeonderwijs zou, zeker in het begin, privé moeten worden gegeven. Het zou afgestemd moeten zijn op de capaciteiten en het tempo van de individuele leerling. Wanneer een leraar twintig leerlingen heeft, dan zijn twintig keer een uur privé les per kind waarschijnlijk effectiever dan twintig collectieve lessen.

Dat geldt niet voor alle leerlingen in dezelfde mate en daarom zou een door de school georganiseerd systeem van bijlessen voor wiskundeleerlingen die achter blijven, waarschijnlijk het meest efficiënt zijn. Om te bepalen wie extra lessen nodig heeft en op welk terrein zou de leraar zich in persoonlijke gesprekken en niet alleen via tests en proefwerken op de hoogte moeten stellen. Dan pas kan hij zien waar het bij ieder van de leerlingen aan schort.

Pas nadat iemand de grondbeginselen onder de knie heeft zou hij mee moeten doen aan wiskundige discussies in klassikaal verband. Van gedachten wisselen met anderen over wiskundige problemen is verreweg de beste vorm van opleiding. Maar pas als iemand mee kan discussiëren kunnen collectieve lessen kennis en inzicht verbreden. Het is nutteloos iemand toe te laten tot een hoger niveau in wis en natuurkunde zolang hij de lagere niveaus niet beheerst.

Er is nog een tweede reden waarom wiskundeonderwijs vaak weinig effect sorteert. Zoals een zakcalculator wiskunde sommen kan maken, kan een goed afgerichte leerling dat vaak ook. Als erin gestampt is wat hij moet doen om het gevraagde resultaat te bereiken is het binnen zekere grenzen niet nodig om het ook te begrijpen. Omdat het wiskundeonderwijs er meer op gericht is om leerlingen voor examens te laten slagen dan om ze begrip voor de materie bij te brengen, is het nog al eens onnodig saai en dat schrikt juist de meer begaafde leerlingen af.

Ik had een medeleerling op het gymnasium die bij wege van clementie het minimum aantal punten kreeg voor wiskunde om te kunnen slagen voor zijn eindexamen. Als de leraar een lijnstuk aanwees op het bord dan antwoordde hij op de vraag ‘wat is dat Huub? Dat is een streep, mijnheer. Die klasgenoot had zich voor het fenomeen wiskunde afgesloten, maar zijn gemiddelde voor alle ander vakken lag rond de negen. De gecommitteerde gaf hem op zijn eindexamen een tien voor Homerus op basis van het voorlezen van een bladzijde Grieks. Hij hoefde die bladzijde niet eens te vertalen.

Ik heb leraren meegemaakt die zelf onvoldoende onderlegd waren in de wiskunde. Die kenden de stof waarin ze les gaven omdat ze getraind waren in de omgang met het lesmateriaal en niet omdat ze die begrepen en er lol in hadden. Dat soort leraren wees men ten onrechte dan ook nog de lagere klassen toe. Pedagogisch zijn dat de moeilijkste. Wie als leraar de fraaiheid van het systeem niet ziet, zal die ook niet op zijn leerlingen kunnen overbrengen. Enthousiasme voor het vak heeft iedereen nodig om de energie en de concentratie op te brengen die het leren van een nieuwe taal nu eenmaal vereist. En met een gebrek aan verstand of knobbel heeft het vaak niets van doen.

Francis Bacon was in zijn tijd een vooraanstaand jurist, een hoge ambtenaar en geleerde. Dat was de tijd van Koningin Elisabeth I. Zijn belangrijkste filosofische geschrift is het Novum Organum, een kritiek op Aristoteles, maar daarnaast een belangrijk en zelfstandig epistemologisch werk. Onder idols wordt tegenwoordig heel iets anders verstaan, maar in de terminologie van Bacon betekende idol een vervorming van de werkelijkheid. Het novum organum gaf een lijst van al de verschillende vormen waarin mensen de werkelijkheid anders ervaren dan die is.

Bacon stond aan het begin van een natuurwetenschappelijke revolutie, die op haar beurt het begin vormde van de technische en industriële revolutie. Wetenschap en techniek zijn afhankelijk van de wereld zoals die werkelijk is en niet zoals wij ons er een beeld van vormen. Onze voorouders hadden grote behoefte aan een middel waarmee de werkelijkheid kon worden beschreven onafhankelijk van al de misleidingen die in de menselijke taal en hersens zijn ingebouwd. Dat middel werd de wiskunde.

Wiskunde beschrijft de werkelijkheid niet rechtstreeks maar wel de relaties tussen fenomenen uit de werkelijkheid en het verloop van processen. Het abstraheert daaruit het gemeenschappelijke van allerlei soorten relaties en maakt ze daarmee los van de intuïtieve benadering die we aan onze genen danken en ook los van de sociale benadering die we aan cultuur en opvoeding ontlenen. De wetenschap komt daarmee op een steviger fundament te staan. Techniek op industriële schaal zou zonder wiskunde ondenkbaar zijn.

Toch is het niet zo dat wiskunde het intuïtieve begrip vervangt. Vooruitgang in de wetenschap en opvallend genoeg ook in de wiskunde zelf, is afhankelijk van inzichten die niet met behulp van de wiskunde kunnen worden verkregen. Maar zij kan de validiteit van zulke inzichten bewijzen of aantonen wanneer intuïtieve inzichten te kort schieten.

Goed wiskunde onderwijs is erg belangrijk. Niet alleen voor mensen die de exacte wetenschappen of de techniek in willen, maar voor iedereen. Daarom is het onbegrijpelijk dat aan het bijbrengen van de grondbeginselen aan jonge studenten relatief zo weinig aandacht wordt gegeven.


Dit essay verscheen eerder op het Blog van Toon Kasdorp

5 reacties

  1. Alexander van der Meer schreef:

    Zuivere wiskunde is één van de meest creatieve disciplines die er zijn. Ik praat niet over vakken als informatica of statistiek, dat is strikt genomen nauwelijks wiskunde te noemen. Geen zuivere wiskundige heeft na zijn dertigste nog iets belangrijks ontdekt, precies om die reden. Creativiteit is iets dat je niet kunt leren, althans niet op het niveau van een goede zuivere wiskundige. Lees “A Mathematician’s Apology” van Hardy.

  2. JvL schreef:

    Beweringen zonder bewijs kunnen zondermeer verworpen worden.

    Een enkel tegenvoorbeeld volstaat echter om bovenstaande stelling van Alex te verwerpen: Wiles was 40….

    https://www.massey.ac.nz/~rmclachl/overthehill.html

  3. Ravian schreef:

    Ons huidige onderwijs is één grote geheugen test.
    Maar met vakken zoals wiskunde werkt dit maar tot op zekere hoogte, op zeker moment kan het geheugen het begrijpen niet meer vervangen, waardoor al diegenen die het eigenlijk nooit begrepen hebben, maar de benodigde regeltjes gewoon maar in hun geheugen gestampt hebben, afvallen.
    Dat is enerzijds een fout in het onderwijs systeem, maar anderzijds zijn er volgens mij toch ook een hoop mensen die gewoon niet in staat zijn om het te begrijpen.
    Daarom stikt het ook van de zogenaamd “hoogopgeleiden” die, als puntje bij paaltje komt, zo stom zijn als het welbekende achtereind van het welbekende varken.
    Die zijn dus dankzij een goed geheugen erg ver gekomen, maar complexe zaken begrijpen kunnen ze niet, de huidige “eerste vicevoorzitter” van de EU, Timmermans, is daar een fraai voorbeeld van.

  4. Theo schreef:

    Onderzoek bij piloten bij de luchtmacht tonen duidelijk aan dat mannen een beter ruimtelijk inzicht hebben.Iets met de oertijd toen wij nog jagers waren?

  5. Ed schreef:

    Het is inderdaad zo, zoals dat hierboven gesteld wordt: als je een betastudent goed africht, kan hij door eenvoudige motoriek voldoende wiskunde uitvoeren om zijn hoofdstudievak goed uit te kunnen oefenen. Ik zal hier wel tegen aardig wat schenen trappen, maar: wiskunde heeft een dienende, nodige functie voor de andere exacte wetenschappen die voor harde fysieke feiten een theorethische basis beschrijven. Dat wiskundigen zo’n mening godslasterlijk vinden komt omdat zij hun wetenschap tot het niveau van religie verheffen. Dogmatisch worden argumenten en te bewijzen stellingen gemaakt om het nut van de wiskunde pur sang toch maar te kunnen bewijzen en het bestaansrecht van daaruit te kunnen idealiseren. Dat er daarbij aan de realiteit voorbijgegaan wordt, is eenvoudig te zien bij bijvoorbeeld het vraagstuk van de drie deuren; dat er daar in de wiskundige benadering voorbij gegaan wordt aan het feit dat een bepaalde uitgangssituatie niet meer bestaat en vervangen is door een andere toont aan dat de werkelijkheid indien nodig het onderspit delft aan de ideologie.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Deze website gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.